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%profondeur de la table des matieres.
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%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ENTETE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%\hfill\textsf{Ann\'ee 2014}
%
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%\hfil\textsf{\textbf{\Large }MPA S2 algèbre}
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%\vspace*{5ex} 

%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
%
\title{MPA S2 Algèbre 2014. Corrigé succinct du devoir maison d'algèbre.} 

 
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
        \item 
					   \begin{enumerate}
									   \item 
										 On peut prendre $\omega=e^{2i\pi/n}$.
										\item La somme cherchée $S$ est la somme des termes d'une suite géométrique. Donc 
                                       $$S=\frac{1-\omega^{n}}{1-\omega}=0.$$
										\item Les racines 5e de l'unité sont
                                         $\{1,e^{2i\pi/5},e^{4i\pi/5},e^{6i\pi/5},e^{8i\pi/5}\}$.
										\item Soient $\zeta$ une racine $5$-ième de l'unité et $a\in \Cc$ une racine de  $P(X)=X^5+1$.
										 Alors $P(a\zeta)=a^5\zeta^5+1=a^5+1=0$. Comme $P(-1)=0$, les racines de $P$ 
                                         sont $\{-1,-e^{2i\pi/5},-e^{4i\pi/5},-e^{6i\pi/5},-e^{8i\pi/5}\}$.
                        \end{enumerate}
           \item      \begin{enumerate}
                                              \item
											      Pour $z\in \Cc$, on pose 
											       $$f(z)=\frac{z-1}{z+1}.$$ Il faut montrer que $f$ est injective 
                                               et surjective. La démonstration de la surjectivité donne la bijection 
                                               réciproque $$f^{-1}(z)=\frac{1+z}{1-z}.$$
											  \item On a 
											    \begin{align*}
                                                \frac{1+e^{\frac{2ik\pi}{n}}}{1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}} & = 
                    \frac{e^{\frac{-ik\pi}{n}}+e^{\frac{ik\pi}{n}}}{e^{\frac{-ik\pi}{n}}-e^{\frac{ik\pi}{n}}} \\
                                                              & =     i cotan\left(\frac{k\pi}{n}\right).
                                                  \end{align*}
											  \item Une solution de l'équation (E) : $(z-1)^n=(z+1)^n$ est nécessairement
                                             différente de $-1$ et vérifie $$f(z)^n=\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^n=1.$$ Autrement dit 
                                                $z$ est solution de (E) si et seulement si $z=f^{-1}(\omega)$ où 
                                              $\omega$ est une racine n-ième de $1$. Comme $f^{-1}(e^{2ik\pi/n})= i
                                              cotan\left(\frac{k\pi}{n}\right)$, on a $n-1$ racines de $Q$. Mais $Q$ est
                                               de degré $\leq n-1$. Et le terme de degré $n-1$ de $Q$ est $-2n$ (on le
                                               calcule avec la formule du binôme). Ce
                                               qui donne la factorisation suivante 
                                              $$Q(z)=-2n  \prod_{k=1}^n (z-i cotan\left(\frac{k\pi}{n}\right)).$$
															  				   \end{enumerate} 
         \item Répondre par V (Vrai) ou F (Faux) aux questions suivantes. Donner une démonstration si la proposition est
vraie et un contre-exemple sinon.
                      \begin{enumerate}
                          \item Soit $E$ l'espace vectoriel réel des suites à valeurs réelles. Soit $M$ l'ensemble des
suites croissantes de $E$. Est-ce que $M$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ? Faux. Si $u_n=n$, alors $(u_n)$ est 
croissante, mais $(-u_n)$ non. 
                          \item Est-ce que la réunion de deux sous-espaces vectoriels de $\Rr^2$ est un sous-espace vectoriel de  
                            $\Rr^2$ ? Faux. Il suffit de prendre dans $\Rr^2=\{(x,y)|x,y\in\Rr\}$ les deux axes 
                          d'équation $D_1:x=0$ et $D_2:y=0$. La somme des points $(1,0)+(0,1)$ n'est pas dans 
                          la réunion de ces deux axes.
                          \item Soit $t\in \Rr$, est-ce que les $3$ vecteurs suivants forment une base de
                           $\Cc^3$: 
                          $$ U=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1  \end{array}\right],\,
                            V =\left[\begin{array}{c} 1 \\ t^2+1\\ 0 \end{array}\right], \, 
                            W  =\left[\begin{array}{c} 1-i \\ t^2+1 \\ -i \end{array}\right].$$  
                          Faux car $W=V-i U$, ce qui montre que la famille est liée et n'est donc pas une base de $\Cc^3$.
                       \end{enumerate}
        \item Soit $A \in M_2(\Cc)$, $A=(a_{i,j})$. On Pose $$E=\left\{A \in M_2(\Cc)\, | \, a_{1,1}+a_{2,2}=0 \right\}.$$
                         \begin{enumerate}
                             \item Facile.
                              \item Facile.
                             \item Soient $\lambda_1$, $\lambda2$, $\lambda_3\in \Cc$ tels que $\lambda_1 T_1+\lambda_2 T_2+\lambda_3
                                      T_3=0$. Comme
                                  $$\lambda_1 T_1+\lambda_2 T_2+\lambda_3 T_3= \left[\begin{array}{cc}  \lambda_3 & \lambda_1 \\
                                    \lambda_2 & -\lambda_3,\end{array}\right],$$ on voit que $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$, et donc 
                                     la famille $(T_1,T_2,T_3)$ est libre. 
                             \item Soit $A\in E$, alors $\exists \, a,b,c\in\Cc$ tels que 
                                            $$A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & -a
                                                                     \end{array}\right].$$
                                   Donc $A=b T_1 +c T_2 +a T_3\in Vect(T_1,T_2,T_3)$. Ainsi la famille 
                                         $(T_1,T_2,T_3)$ est génératrice de $E$ et forme donc une base de $E$.
                                                                   \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{document}
